Question

如圖，⊙O是Rt△ABC中以直角邊AB為直徑的圓，⊙O與斜邊AC交于D，過D作DH⊥AB于H，又過D作直線DE交BC于點E，使∠HDE=2∠A．
求證：（1）DE是⊙O的切線；（2）OE是Rt△ABC的中位線．

Answer 1

（1）連接OD，
則∠HOD=2∠A，
已知∠HDE=2∠A，
則∠HOD=∠HDE，
∵HD⊥AB，
∴∠HOD+∠HDO=90°，
∴∠HDE+∠HDO=90°，
即OD⊥DE，
又OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵DE是⊙O的切線，∠ABC=90°，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
又OB=OD，OE=OE，
∴Rt△BOE≌Rt△DOE，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE，
又∠HOD=2∠A，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AD，
而O是AB的中點，
故OE是Rt△ABC的中位線．