Question

如圖（1），AB是⊙O的直徑，射線AT⊥AB，點P是射線AT上的一個動點（P與A不重合），PC與⊙O相切于C，過C作CE⊥AB于E，連接BC并延長BC交AT于點D，連接PB交CE于F．
（1）請你寫出PA、PD之間的關系式，并說明理由；
（2）請你找出圖中有哪些三角形的面積被PB分成兩等分，并加以證明；
（3）設過A、C、D三點的圓的半徑是R，當CF=

1

4

R時，求∠APC的度數，并在圖（2）中作出點P．（要求尺規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

Answer 1

（1）如圖，連接AC，
∵AT⊥AB，AB是⊙O的直徑
∴AT是⊙O的切線
又PC是⊙O的切線
∴PA=PC
∴∠PAC=∠PCA
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°
∴∠ADC=∠PCD
所以PD=PC=PA；

（2）由（1）知PD=PA
∴△ABD被PB分成面積相等的兩個三角形
∵AT⊥AB，CE⊥AB
∴AT∥CE
∴CF：PD=BF：BP，EF：PA=BF：BP
所以CF：PD=EF：PA
所以CF=EF
可見△CEB也被PB分成面積相等的兩個三角形；

（3）由（1）知PA=PC=PD
∴PA是△ACD的外接圓的半徑，即PA=R
由（2）知，CF=EF，而CF=

1

4

R
∴EF=

1

4

PA
所以

EF

PA

=

1

4

，
∵EF∥AT
∴

BE

AB

=

EF

PA

=

1

4

∴CE=

3

BE
在Rt△ACE中
∵tan∠CAE=

3

3

∴∠CAE=30°
∴∠PAC=90°-∠CAE=60°
而PA=PC
∴△PAC是等邊三角形
∴∠APC=60°
P點的作圖方法見圖．