Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB交y軸于點(diǎn)A（0，1），交x軸于點(diǎn)B（3，0）．直線(xiàn)x=1交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，P是直線(xiàn)x=1上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)D的上方，設(shè)P（1，n）．

（1）求直線(xiàn)AB的解析式；

（2）求△ABP的面積（用含n的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)S△ABP=2時(shí)，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x+1；（2）；（3）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，4）或（5，2）或（3，2）．

【解析】

（1）把的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的解析式，即可求得的值，然后在解析式中，令，求得的值，即可求得的坐標(biāo)；

（2）利用即可求出結(jié)果；

（3）分三種情況討論，當(dāng)、、分別為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、。

(1)設(shè)直線(xiàn)AB的解析式是y=kx+b

把A（0，1），B（3，0）代入得：

解得：

∴直線(xiàn)AB的解析式是:

（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，

∵x=1時(shí)，=，P在點(diǎn)D的上方，

∴PD=n﹣，

由點(diǎn)B（3，0），可知點(diǎn)B到直線(xiàn)x=1的距離為2，即△BDP的邊PD上的高長(zhǎng)為2，

∴，

∴；

（3）當(dāng)S△ABP=2時(shí)，，解得n=2，∴點(diǎn)P（1，2）．

∵E（1，0）， ∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°．

第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥直線(xiàn)x=1于點(diǎn)N．

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°．

又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，

∴△CNP≌△BEP，∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4， ∴C（3，4）．

第2種情況，如圖2, ∠PBC=90°，BP=BC，

過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°．

又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5， ∴C（5，2）．

3種情況，如圖3，∠PCB=90°，

∴∠CPB=∠EBP=45°，

∴△PCB≌△ BEP，

∴PC=CB=PE=EB=2，∴C（3，2）．

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，

綜上所述點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，4）或（5，2）或（3，2）．