Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+3x+4與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，P（m，n）為第一象限內拋物線上的一點，點D的坐標為（0，6）．

（1）OB=_________，拋物線的頂點坐標為_________________；

（2）當n=4時，求點P關于直線BC的對稱點P′的坐標；

（3）是否存在直線PD，使直線PD所對應的一次函數隨x的增大而增大？若存在，直接寫出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4，（，）；（2）（0，1）；（3）1＜m＜2．

【解析】

試題分析：（1）當y=0時，即﹣x2+3x+4=0，解得：x1=4，x2=﹣1，∴點A（﹣1，0）點B（4，0），∴OB=4，y=﹣x2+3x+4=，∴拋物線的頂點坐標為（，），故答案為：4，（，）．

（2）如圖，連接CP，CP′，

n=4時，﹣m2+3m+4=4，解得：m1=3，m2=0（舍去），∴這時P點的坐標為（3，4），∵OC=4，∴CP∥x軸，CP=3，∵點C的坐標為（0，4），∴OB=OC=4，∴∠OCB=45°=∠BCP，∴點P′在y軸上，且CP′=CP=3，∴P′的坐標為（0，1）．

（3）存在，∵點D的坐標為（0，6），∴當y=6時，﹣x2+3x+4=6，解得：x1=1，x2=2，∵直線PD所對應的一次函數隨x的增大而增大，∴一次函數的圖象一定經過一、三象限，∴1＜m＜2．