Question

【題目】已知在圖一中，將等邊繞BC邊中點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，直線AG與直線CF交于點(diǎn)求證．小明同學(xué)的思路是這樣的：通過(guò)證明∽得到，從而得到，繼續(xù)推理就可以使問(wèn)題得到解決．

請(qǐng)根據(jù)小明的思路，求證：；

愛(ài)動(dòng)腦筋的小明把問(wèn)題做了進(jìn)一步思考，他想：如果把題目的“等邊”改成“等腰直角，其中，”，如圖二，中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，求此時(shí)線段BM的最大值．

小明繼續(xù)大膽設(shè)問(wèn)：如圖三，在中，，，將這樣的按照題目中的方式旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)直接寫出AG與CF的位置關(guān)系以及線段BM的變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立，最大值為；（3），．

【解析】

一想辦法證明∽，推出，由，推出，推出，可得；

二結(jié)論成立：證明方法類似利用四邊形三邊關(guān)系求出BM的最大值；

三結(jié)論：理由三角形的三邊關(guān)系求出BM的取值范圍即可.

證明：如圖一中，

是等邊三角形，，

，，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

．

解：如圖二中，結(jié)論成立：

理由：是等腰直角三角形，，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

．

取AC的中點(diǎn)O，連接BO，OM，BM．

，，

，

當(dāng)B、O、M共線時(shí)，BM的值最大，最大值為．

解：如圖三中，結(jié)論：．

理由：：是等腰三角形，，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

，

．

取AC的中點(diǎn)O，連接BO，OM，BM．

，，

，

．