Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺規作圖作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點D，交AB于點E．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）
（2）連接BD，求證：DE=CD．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，DE為所作；

（2）證明：如圖，

∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴∠DBA=∠A=30°，

∵∠ABC=90°﹣∠A=60°，

∴∠CBD=30°，

即BD平分∠ABC，

而DE⊥AB，DC⊥BC，

∴DE=DC．

【解析】（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作DE垂直平分AB；（2）先利用線段垂直平分線的性質得到DA=DB，則∠DBA=∠A=30°，再證明BD平分∠ABC，然后根據角平分線的性質定理可得到結論．
【考點精析】掌握線段垂直平分線的性質和含30度角的直角三角形是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．