Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，點E、G、H、F分別在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，點P是直線EF、GH之間任意一點，連接PE、PF、PG、PH，則△PEF和△PGH的面積和等于 ．

Answer 1

【答案】7
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1， ∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，
CH=CD﹣DH=4﹣1=3，
∴AE=CH，
在△AEF與△CGH中， ，
∴△AEF≌△CGH（SAS），
∴EF=GH，
同理可得，△BGE≌△DFH，
∴EG=FH，
∴四邊形EGHF是平行四邊形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于點H到直線EF的距離，
∴△PEF和△PGH的面積和= ×平行四邊形EGHF的面積，
平行四邊形EGHF的面積
=4×6﹣ ×2×3﹣ ×1×（6﹣2）﹣ ×2×3﹣ ×1×（6﹣2），
=24﹣3﹣2﹣3﹣2，
=14，
∴△PEF和△PGH的面積和= ×14=7．
故答案為：7．

連接EG，FH，根據題目數據可以證明△AEF與△CGH全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根據兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形EGHF是平行四邊形，所以△PEF和△PGH的面積和等于平行四邊形EGHF的面積的一半，再利用平行四邊形EGHF的面積等于矩形ABCD的面積減去四周四個小直角三角形的面積即可求解．