Question

【題目】如圖1，把兩個全等的三角板ABC、EFG疊放在一起，使三角板EFG的直角邊FG經過三角板ABC的直角頂點C，垂直AB于G，其中∠B=∠F=30°，斜邊AB和EF均為4．現將三角板EFG由圖1所示的位置繞G點沿逆時針方向旋轉α（0°＜α＜90°），如圖2，EG交AC于點K，GF交BC于點H．在旋轉過程中，請你解決以下問題：

（1）求證：△CGH∽△AGK；
（2）連接HK，求證：KH∥EF；

（3）設AK=x，△CKH的面積為y，求y關于x的函數關系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在Rt△ABC中，CG⊥AB，∠B=30°，

∴∠GCH=∠GAK=60°，

又∠CGH=∠AGK=α，

∴△CGH∽△AGK；

（2）

證明：由（1）得△CGH∽△AGK，

∴ ；

在Rt△ACG中，tanA= = ，

∴ ．

在Rt△KHG中，tan∠GKH= ，

∴∠GKH=60°．

∵Rt△EFG中，∠F=30°，

∴∠E=60°，

∴∠GKH=∠E，

∴KH∥EF；

（3）

解：由（1）得△CGH∽△AGK，

∴

由（2）知 ，

∴ ．

∴CH= AK= x，

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴AC= AB=2，

∴CK=AC﹣AK=2﹣x，

∴y= CKCH= （2﹣x） x=﹣ x2+ x，

又y═﹣ x2+ x=﹣ （x﹣1）2+ ，

∴當x=1時，y有最大值為 ．

【解析】（1）根據已知條件證明△AGK∽△CGH即可；（2）連接HK，由（1）可知在Rt△KHG中，tan∠GKH= ，所以∠GKH=60°，再根據三角形的內角和證明，∠E=∠EGF﹣∠F=90°﹣30°=60°，即可證得∠GKH=∠E=60°，利用同位角相等兩線平行即可證明KH∥EF；（3）設AK=x，存在x=1，使△CKH的面積最大，由（1）得△AGK∽△CGH，所以CH= AK= x，根據三角形的面積公式表示出S△CHK= CKCH= （2﹣x） x，再把二次函數的解析式化為頂點式即可求出x的值．