Question

如圖（a）所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-9，0），直線L的解析式為：y=-2x，在直線L上有一點B使得△ABO的面積為27．
（1）求點B的坐標；
（2）如圖（b），在當點B在第二象限時，四邊形OABC為直角梯形，OA∥BC，求梯形OABC的面積；
（3）在（2）的條件下是否存在直線m經過坐標原點O，且將直角梯形OABC的面積分為1：5的兩部分？若存在請直接寫出直線m的解析式；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據三角形的面積，可得B點的縱坐標，根據函數值，可得相應自變量的值；
（2）根據梯形的面積公式，可得答案；
（3）根據面積的比，可得S_△ODC，S_△OAE，可得DC的長，根據待定系數法，可得m₁的解析式；根據S_△OAE，可得E點的縱坐標，根據函數值，可得相應自變量的值，即E點坐標，再根據待定系數法，可得m₂的函數解析式．

解答：解：（1）如圖1，作BD⊥OA于D點，
，
由S_OAB=

1

2

|OA|•BD=27，OA=-9，
得BD=6．
再由B在直線L上，得6=-2x．
解得x=-3，
即B點坐標（-3，6）；
（2）如圖2：
，
由AO=-9，BC=-3，OC=6，得
S_梯形OABC=

(|AO|+|BC|)OC

2

=

(|-9|+|-3|)×6

2

=36；
（3）設直線AB的解析式為y=kx+b，圖象過點A、B，得

-9k+b=0 -3k+b=6

．解得

k=1 b=9

．
直線AB的解析式為y=x+9，
如圖3：
，
①由S_△ODC：S_梯形OABD=1：5，S_梯形OABC=36，得S_△ODC=6．
由S_△ODC=

1

2

OC•CD=6，OC=6，得CD=2，
即D（-2，6），設OD的解析式為y=k₁x，
解得k₁=-3，
即直線m₁的解析式為y=-3x；
②由S_△AOE：S_梯形OABD=1：5，S_梯形OABC=36，得S_△OAE=6．
由S_△OAE=

1

2

|AO|•EF=6，AO=-9，
得EF=

4

3

．
當y=

4

3

時，x+9=

4

3

，解得x=-

23

3

．
即E（-

23

3

，

4

3

）．
設直線OE的解析式為y=k₂x，
把E點坐標代入函數解析式，得
k₂=-

4

23

，
即直線m₂的解析式為y=-

4

23

x．

點評：本題考查了一次函數綜合題，利用了三角形的面積公式，函數值與自變量的相應關系，梯形的面積公式，待定系數法求函數解析式．