Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝9，點P為AD邊上點，沿BP折疊△ABP，點A的對應點為E，若點E到矩形兩條較長邊的距離之比為1：4，則AP的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

分點E在矩形內部，EM：EN＝1：4，或EM：EN＝4：1，點E在矩形外部，EN：EM＝1：4，三種情況討論，根據折疊的性質和勾股定理可求AP的長度．

解：過點E作ME⊥AD，延長ME交BC與N，

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD∥BC，且ME⊥DA

∴EN⊥BC 且∠A＝90°＝∠ABC＝90°

∴四邊形ABNM是矩形

∴AB＝MN＝5，AM＝BN

若ME：EN＝1：4，如圖1

∵ME：EN＝1：4，MN＝5

∴ME＝1，EN＝4

∵折疊

∴BE＝AB＝5，AP＝PE

在Rt△BEN中，BN＝＝3

∴AM＝3

在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2

AP2＝（3﹣AP）2+1

解得AP＝

若ME：EN＝4：1，則EN＝1，ME＝4，如 圖2

在Rt△BEN中，BN＝＝2

∴AM＝2

在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2

AP2＝（2﹣AP ）2+16

解得AP＝

若點E在矩形外，如圖

∵EN：EM＝1：4

∴EN＝，EM＝

在Rt△BEN中，BN＝＝

∴A＝

在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2

AP2＝（AP﹣）2+（）2

解得：AP＝5

故答案為，，5.