Question

【題目】如圖，P是等腰直角△ABC外一點，把BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，使點P′在△ABC內，已知∠AP′B＝135°，若連接P′C，P′A：P′C＝1：4，則P′A：P′B＝（　　）

A.1：4B.1：5C.2：D.1：

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接AP，根據同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AP＝CP′，連接PP′，根據旋轉的性質可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍，代入整理即可得解．

解：如圖，連接AP，

∵BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，

∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，

∴∠ABP＝∠CBP′，

在△ABP和△CBP′中，

∵，

∴△ABP≌△CBP′（SAS），

∴AP＝P′C，

∵P′A：P′C＝1：4，

∴AP＝4P′A，

連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，

∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，

∵∠AP′B＝135°，

∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，

∴△APP′是直角三角形，

設P′A＝x，則AP＝4x，

∴PP'＝，

∴P'B＝PB＝，

∴P′A：P′B＝2：，

故選：C．