Question

【題目】定義：連接拋物線上兩點的線段叫拋物線的弦，在這兩點之間拋物線上的任意一點P與此兩點構成的三角形稱作拋物線的弦三角，點P稱作弦錐，設點P的橫坐標為x．

已知拋物線經過A（1，2）、B（m，n）、C（3，﹣2）三點，P是拋物線上AC之間的一點，以AC為弦的弦三角為△PAC.

（1）圖一，當m＝2，n＝1時，求該拋物線的解析式，若x＝k1時△PAC的面積最大，求k1的值．

（2）圖二，當m＝2，n≠1時，用n表示該拋物線的解析式，若x＝k2時△PAC的面積最大，求k2的值．k1與k2有何數量關系？

（3）圖三，當m≠2，n≠1時，用m，n表示該拋物線的解析式，若x＝k3時△PAC的面積最大，求k3的值．觀察圖1，2，3，過定點A、C，根據B在各種不同位置所得計算結果，你發現通過兩個定點的拋物線系中，以此兩點為弦的弦三角的面積取得最大值時，弦錐的橫坐標有何規律？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1，k1＝2；（2）y＝﹣nx2+（4n﹣2）x+（4﹣3n），k2＝2，k1＝k2；（3），k3＝2，弦錐的橫坐標均相等．

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；過點P作PD⊥x軸于點D，交直線AC于點E，如圖4，易求出直線AC的解析式，由于點P的橫坐標為k1，則其縱坐標和點E的縱坐標可得，于是PE的長可用k1的代數式表示，然后利用可得△PAC的面積關于k1的函數關系式，再利用二次函數的性質求解即可；

（2）先根據待定系數法求出拋物線的解析式，根據點B的位置需分情況討論：①若n>0，如圖4，仿（1）題的思路用k2的代數式表示出PE的長，然后利用可得△PAC的面積關于k2的函數關系式，再利用二次函數的性質求解即可；②若n<0，如圖5，仿①的思路可得，進而可用k2的代數式表示出△PAC的面積，再利用二次函數的性質求解即可；進一步即可比較k1與k2的數量關系；

（3）先根據待定系數法求出拋物線的解析式，然后仿（2）題的思路分兩種情況可得△PAC的面積關于k3的函數關系式，再利用二次函數的性質求解即可，然后根據前面3個小題的結果即可得出弦錐的橫坐標的規律．

解：設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，

（1）當m＝2，n＝1時，把A（1，2）、B（2，1）、C（3，﹣2）代入，得，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+1，

∵A（1，2）、C（3，﹣2），∴直線AC的解析式為y＝﹣2x+4，

∵P（k1，﹣k12+2k1+1），過點P作PD⊥x軸于點D，交直線AC于點E，如圖4，則點E（k1，﹣2k1+4），

∴，

∴，

∴當k1＝2時，△PAC的面積最大；

（2）當m＝2，n≠1時，把A（1，2）、B（2，n）、C（3，﹣2）代入，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣nx2+（4n﹣2）x+（4﹣3n），

①若n>0，∵P（k2，﹣nk22+（4n﹣2）k2+(4﹣3n)），過點P作PD⊥x軸于點D，交直線AC于點E，如圖4，則點E（k2，﹣2k2+4），

∴=﹣nk22+（4n﹣2）k2+(4﹣3n)+2k2－4=﹣nk22+4nk2﹣3n，

∴，

∴當k2＝2時，△PAC的面積最大；

②若n<0，如圖5，則=﹣2k2+4+nk22－（4n﹣2）k2－(4﹣3n)=nk22－4nk2+3n，

∴，

∴當k2＝2時，△PAC的面積最大；

綜上，當k2＝2時，△PAC的面積最大；

∴k1＝k2；

（3）當m≠2，n≠1時，把A（1，2）、B（m，n）、C（3，﹣2）代入，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為：，

則P（k3，），

①若，過點P作PD⊥x軸于點D，交直線AC于點E，如圖4，則點E（k3，﹣2k3+4），

∴==，

∴，

∴當k3＝2時，△PAC的面積最大；

②若，如圖5，則=，

∴，

∴當k3＝2時，△PAC的面積最大；

綜上，當k3＝2時，△PAC的面積最大；

綜上所述，過定點A、C，根據B在各種不同位置所得計算結果，可以發現通過兩個定點的拋物線系中，以此兩點為弦的弦三角的面積取得最大值時，弦錐的橫坐標均相等．