Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2ax+m．

（1）當a＝2，m＝﹣5時，求拋物線的最值；

（2）當a＝2時，若該拋物線與坐標軸有兩個交點，把它沿y軸向上平移k個單位長度后，得到新的拋物線與x軸沒有交點，請判斷k的取值情況，并說明理由；

（3）當m＝0時，平行于y軸的直線l分別與直線y＝x﹣（a﹣1）和該拋物線交于P，Q兩點．若平移直線l，可以使點P，Q都在x軸的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）-9；（2）k＞0，見解析；（3）a＞1或a＜﹣1

【解析】

(1)把a＝2，m＝﹣5代入拋物線解析式即可求拋物線的最值；

(2)把a＝2代入，當該拋物線與坐標軸有兩個交點，分拋物線與x軸、y軸分別有一個交點和拋物線與x軸、y軸交于原點，分別求出m的值，把它沿y軸向上平移k個單位長度，得到新的拋物線與x軸沒有交點，列出不等式，即可判斷k的取值；

(3)根據題意，分a大于0和a小于0兩種情況討論即可得a的取值范圍．

解：(1)當a＝2，m＝﹣5時，

y＝x2﹣4x﹣5

＝（x﹣2）2﹣9

所以拋物線的最小值為﹣9．

(2)當a＝2時，

y＝x2﹣4x+m

因為該拋物線與坐標軸有兩個交點，

①該拋物線與x軸、y軸分別有一個交點

∴△=16-4m=0，

∴m=4，

∴y＝x2﹣4x+4=（x-2）2

沿y軸向上平移k個單位長度后，得到新的拋物線與x軸沒有交點，

則k＞0；

②該拋物線與x軸、y軸交于原點，

即m=0，

∴y＝x2﹣4x

∵把它沿y軸向上平移k個單位長度后，得到新的拋物線與x軸沒有交點，

∴y＝x2﹣4x+k

此時△＜0，

即16﹣4k＜0

解得k＞4;

綜上，k＞0時，函數沿y軸向上平移k個單位長度后，得到新的拋物線與x軸沒有交點；

(3)當m＝0時，y＝x2﹣2ax

拋物線開口向上，與x軸交點坐標為（0，0）（2a，0），a≠0．

直線l分別與直線y＝x﹣（a﹣1）和該拋物線交于P，Q兩點，

平移直線l，可以使點P，Q都在x軸的下方，

①當a＞0時，如圖1所示，

此時，當x＝0時，0﹣a+1＜0，解得a＞1；

②當a＜0時，如圖2所示，

此時，當x＝2a時，2a﹣a+1＜0，解得a＜﹣1．

綜上：a＞1或a＜﹣1．