Question

（2011•德陽）如圖，已知拋物線經過原點O，與x軸交于另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=2x+1經過拋物線上一點B（m，-3），且與y軸、直線x=2分別交于點D，E．
（1）求拋物線對應的函數解析式并用配方法把這個解析式化成y=a（x-h）²+k的形式；
（2）求證：CD⊥BE；
（3）在對稱軸x=2上是否存在點P，使△PBE是直角三角形？如果存在，請求出點P的坐標，并求出△PAB的面積；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由對稱軸設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+k，由直線y=2x+1經過點B（m，-3），可以求出m的值，求出B點的坐標，從而可以求出拋物線的解析式．
（2）利用直線BE的解析式和對稱軸求出E的坐標，求出CE的值，過點B作BF垂直于x軸于F，作BH垂直于直線x=2于H，交y軸于點Q，利用勾股定理可以求得△BCE是等腰三角形，且BD=DE，由等腰三角形的性質就得出結論．
（3）①當∠BPE=90°時，點P與（2）中的點H重合，可以求出P點的坐標，△PAB的面積；當∠EBP=90°時，設點P（2，y），利用△BHP∽△EHB可以求出點P的坐標，從而求出△PAB的面積．

解答：（1）解：∵已知拋物線的對稱軸為x=2，
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+k，
又∵直線y=2x+1經過點B（m，-3），
∴-3=2m+1，解得，m=-2，
∴點B（-2，-3），
又∵二次函數y=a（x-2）²+k的圖象經過0（0，0），B（-2，-3），
∴

0=a(0-2)2+k -3=a(-2-2)2+k

，
解得

a=- 1 4 k=1

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

(x-2)2+1．

（2）證明：由題意解方程組

y=2x+1 x=2

，
得

x=2 y=5

∴點E的坐標為（2，5），∴CE=5．
過點B作BF垂直于x軸于F，作BH垂直于直線x=2于H，交y軸于點Q，
∵點B（-2，-3），D（0，1），
∴BF=3，BH=4，CH=BF=3，OD=1，EH=8，DQ=4．
在Rt△BHE，Rt△BQ0，Rt△BHC中，
由勾股定理得BE=

42+82

=4

5

，BD=

42+22

=2

5

，BC=

42+32

=5
∴BD=

1

2

BE，
又∵EC=5，
∴BC=CE，
∴CD⊥BE．

（3）解：結論：存在點P，使△PBE是直角三角形．
①當∠BPE=90°時，點P與（2）中的點H重合，
∴此時點P的坐標為（2，-3）；
延長BH與過點A（4，0）且與x軸垂直的直線交于M，
則S△PAB=S△HAB=S△ABM-S△AHM=

1

2

×6×3-

1

2

×2×3=6；
②當∠EBP=90°時，設點P（2，y），
∵E（2，5），H（2，-3），B（-2，-3）），
∴BH=4，EH=8，PH=-3-y．
在Rt△PBE中，BH⊥PE，
可證得△BHP∽△EHB，

HP

BH

=

BH

EH

，即

-3-y

4

=

4

8

，
解得y=-5，
此時點P的坐標為（2，-5）．
過點P與x軸平行的直線與FB的延長線交于點N，
則S△PAB=S梯形APNF-S△FAB-S△BPN=

1

2

×(4+6)×5-

1

2

×6×3-

1

2

×4×2=12．
綜合①，②知點P的坐標為（2，-3），△PAB的面積為6；或點P的坐標為（2，-5），△PAB的面積為12．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，三角形的面積，勾股定理的運用，相似三角形的判定與性質．