Question

已知拋物線y=x²-mx+m-2．
（1）求證：此拋物線與x軸有兩個不同的交點；
（2）若m是整數，拋物線y=x²-mx+m-2與x軸交于整數點，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的頂點為A，拋物線與x軸的兩個交點中右側交點為B．若m為坐標軸上一點，且MA=MB，求點M的坐標．

Answer 1

（1）證明：令y=0，則x²-mx+m-2=0．
因為△=m²-4m+8=（m-2）²+4＞0，（1分）
所以此拋物線與x軸有兩個不同的交點．（2分）

（2）因為關于x的方程x²-mx+m-2=0的根為x=

m± (-m)2-4(m-2)

2

=

m± (m-2)2+4

2

，
由m為整數，當（m-2）²+4為完全平方數時，此拋物線與x軸才有可能交于整數點．
設（m-2）²+4=n²（其中n為整數），（3分）
則[n+（m-2）][n-（m-2）]=4
因為n+（m-2）與n-（m-2）的奇偶性相同，
所以

n+m-2=2 n-m+2=2

或

n+m-2=-2 n-m+2=-2

解得m=2．
經過檢驗，當m=2時，方程x²-mx+m-2=0有整數根．
所以m=2．（5分）

（3）當m=2時，
此二次函數解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，
則頂點坐標為（1，-1）．
拋物線與x軸的交點為O（0，0）、B（2，0）．
設拋物線的對稱軸與x軸交于點M₁，則M₁（1，0）．
在直角三角形AM₁O中，由勾股定理，得AO=

2

．
由拋物線的對稱性可得，AB=AO=

2

．
又因為(

2

)2+(

2

)2=22，即OA²+AB²=OB²．
所以△ABO為等腰直角三角形．（6分）
則M₁A=M₁B．
所以M₁（1，0）為所求的點．（7分）
若滿足條件的點M₂在y軸上時，
設M₂坐標為（0，y），
過A作AN⊥y軸于N，連接AM₂、BM₂，則M₂A=M₂B．
由勾股定理，
即M₂A²=M₂N²+AN²；M₂B²=M₂O²+OB²，
即（y+1）²+1²=y²+2²．
解得y=1．
所以M₂（0，1）為所求的點．（8分）
綜上所述，滿足條件的M點的坐標為（1，0）或（0，1）．