Question

已知二次函數y=x²+bx+c圖象的對稱軸是直線x=2，且過點A（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）求出該二次函數圖象與x軸的交點B、C的坐標；
（3）如果某個一次函數圖象經過坐標原點O和該二次函數圖象的頂點M．問在這個一次函數圖象上是否存在點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）二次函數y=x²+bx+c圖象的對稱軸是直線x=2，且過點A（0，3），
代入得：-

b

2×1

=2，3=c，
解得：b=-4，c=3，
答：b=-4，c=3．

（2）把b=-4，c=3代入得：y=x²-4x+3，
當y=0時，x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
B？（3，0），C（1，0），
答：二次函數圖象與x軸的交點B、C的坐標分別是（3，0），（1，0）．

（3）存在：
理由是：y=x²-4x+3，
=（x-2）²-1，
頂點坐標是（2，-1），
設一次函數的解析式是y=kx+b，
把（0，0），（2，-1）代入得：

0=b -1=2k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=0

，
∴y=-

1

2

x，
設P點的坐標是（x，-

1

2

x），
取BC的中點M，以M為圓心，以BM為半徑畫弧交直線于Q、H，
則Q、H符合條件，由勾股定理得；
（x-2）²+(-

1

2

x-0)2=1²，
解得：x₁=

6

5

，x₂=2，
∴Q（

6

5

，-

3

5

），H（2，-1）；
過B作BF⊥X軸交直線于F，
把x=3代入y=-

1

2

x得：y=-

3

2

，
∴F（3，-

3

2

），
過C作CE⊥X軸交直線于E，
同法可求：E（1，-

1

2

），
∴P的坐標是（

6

5

，-

3

5

）或（2，-1）或（3，-

3

2

）或（1，-

1

2

）．
答：存在，P的坐標是（

6

5

，-

3

5

）或（2，-1）或（3，-

3

2

）或（1，-

1

2

）．