Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，動點D從B開始沿BC向點C運動，到達點C后停止運動，將△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，則下列說法中，正確的是（　　）

①DE的最小值為1；②ADCE的面積是不變的；③在整個運動過程中，點E運動的路程為2；④在整個運動過程中，△ADE的周長先變小后變大．

A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據旋轉的性質易證△ADE為等邊三角形，可得DE=AD，當AD⊥BC時，AD最小，由此求得AD=，即可判定①錯誤；由旋轉的性質可得△ABD的面積=△ACE的面積，即可得DCE的面積=等邊三角形ABC的面積，由此判斷②正確；由題意可得點E運動的路程等于等邊三角形的邊長即為2，即可判定③正確；在整個運動過程中，AD先變小，在變大，由（1）可知△ADE為等邊三角形，即可得△ADE的周長先變小后變大，即可得④正確.

當BD=DC時，DE有最小值，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=2，∠B=∠BAC=60°，

∵D是BC的中點，即BD=DC=BC=1，

∴AD⊥BC，∠BAD=30°，

∴AD=BD=，

∵△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，

∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，

∴△ADE為等邊三角形，

∴DE=AD=，

故①錯誤；

∵將△ABD繞點A旋轉后得到△ACE，

∴△ABD的面積=△ACE的面積，

∴ADCE的面積=等邊三角形ABC的面積，

故②正確；

在整個運動過程中，點E運動的路程等于等邊三角形的邊長即為2，

故③正確；

在整個運動過程中，△ADE的周長先變小后變大，④正確；

故選C．