Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，

解得 ，c=2，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：存在．如圖1中，∵C（0，2），D（ ，0），

∴OC=2，OD= ，CD= =

①當CP=CD時，可得P1（ ，4）．

②當DC=DP時，可得P2（ ， ），P3（ ，﹣ ）

綜上所述，滿足條件的P點的坐標為 或 或

（3）

解：如圖2中，

對于拋物線y=﹣ x2+ x+2，當y=0時，﹣ x2+ x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1

∴B（4，0），A（﹣1，0），

由B（4，0），C（0，2）得直線BC的解析式為y=﹣ x+2，

設E 則F ，

EF= ﹣ =

∴- ＜0，∴當m=2時，EF有最大值2，

此時E是BC中點，

∴當E運動到BC的中點時，△EBC面積最大，

∴△EBC最大面積= ×4×EF= ×4×2=4，此時E（2，1）

【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+bx+c列方程組即可．（2）先求出CD的長，分兩種情形①當CP=CD時，②當DC=DP時分別求解即可．（3）求出直線BC的解析式，設E 則F ，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的圖象和二次函數的性質，需要了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．