Question

【題目】若兩個二次函數圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數為“同簇二次函數”．

（1）請寫出兩個為“同簇二次函數”的函數；

（2）已知關于x的二次函數y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的圖象經過點A（1，1），y3=y1+y2，若y3與y1為“同簇二次函數”，求函數y2的表達式，并求出當0≤x≤3時，y2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2和y=2x2；（2）函數y2的表達式為y2=7x2-14x+7，當0≤x≤3時，x=3時，y2的值最大，最大值=28．

【解析】

（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數作為二次項的系數，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數”的表達式即可；

（2）由y1的圖像經過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據y1+y2與y1為“同簇二次函數”就可以求出函數y2的表達式，然后將函數y2的表達式轉化為頂點式，再利用二次函數的性質即可得出答案.

解：（1）二次函數y=x2和y=2x2是“同簇二次函數”；

（2）把A（1，1）代入y1=2x2-4mx+2m2+1得2-4m+2m2+1=1，解得m=1，

則y1=2x2-4x+3，y2=ax2+bx+7，

所以y3=y1+y2=（a+2）2+（b-4）x+10，

而y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1，即二次函數y1的頂點坐標為（1，1），

因為y3與y1為“同簇二次函數”，

所以二次函數y3的頂點坐標為（1，1），

則a+2+b-4+10=1，-=1，解得a=7，b=-14，

所以函數y2的表達式為y2=7x2-14x+7，則拋物線y2的對稱軸為直線x=-=1，

當0≤x≤3時，x=3時，y2的值最大，最大值=7×9-14×3+7=28．