Question

【題目】如圖，△AMN為等腰三角形，點O是底邊MN的中點，腰AN與⊙O相切于點E，ON與⊙O相交于點D．

（1）求證：AM與⊙O相切；

（2）若EN=，DN=2．求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）作輔助線證明△AOM≌△AON,即可解題,（2）利用S陰影=S△AMN-S△OEN- S△MFO - S扇形OEF即可解題.

解：（1）連接OA,OE,過點O作OF⊥AM與F,

∵△AMN為等腰三角形，點O是底邊MN的中點，

∴AM=AN,OM=ON,

∴△AOM≌△AON（SSS）,

∴OE=OF,

∵腰AN與⊙O相切于點E，

∴AM與⊙O相切,

（2）∵EN=，DN=2,

設圓O半徑=r,

∴r2+()2=(r+2)2,解得：r=2,

∴OE=2,ON=4,

∴∠N=30°,OA=tan30°ON=,

S△AMN=,

S△OEN=S△MFO=,

S扇形OEF==,

∴S陰影==.