Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸于A，D兩點，并經過B點，對稱軸交x軸于點C，連接BD，BC，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）

（1）求二次函數的解析式．

（2）求該函數圖象的頂點坐標及D點的坐標．

（3）拋物線上有一個動點P，與A，D兩點構成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2-4x+6； (2) 拋物線的頂點坐標為（4，6），D（6，0）；(3)存在，P點坐標為（4+，）或（4-，）或（3，-）或（5，-）．

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）把（1）中的解析式配成頂點式可得到頂點坐標，然后利用拋物線的對稱性確定D點坐標；

（3）設P（x，x2-4x+6），利用三角形面積公式得到（6-2）|x2-4x+6|=××（6-4）×6，則x2-8x+9=0或x2-8x+15=0，然后分別解兩個一元二次方程即可得到P點坐標．

（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c得

，解得，

∴拋物線的解析式為y=x2-4x+6；

（2）∵y=x2-4x+6=（x-4）2+6，

∴拋物線的頂點坐標為（4，6），

∵拋物線的對稱軸為直線x=4，A（2，0），

∴D（6，0）；

（3）存在．

設P（x，x2-4x+6），

∵S△ADP=S△BCD，

∴（6-2）|x2-4x+6|=××（6-4）×6，

∴x2-8x+9=0或x2-8x+15=0，

解方程x2-8x+9=0得x1=4+，x2=4-，此時P點坐標為（4+，）或（4-，）；

解方程x2-8x+15=0得x1=3，x2=5，此時P點坐標為（3，-）或（5，-）；

綜上所述，P點坐標為（4+，）或（4-，）或（3，-）或（5，-）．