Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB為直徑作⊙O；過點C作直線CD交AB的延長線于點D，且BD=OB，CD=CA．

（1）求證：CD是⊙O的切線．

（2）如圖（2），過點C作CE⊥AB于點E，若⊙O的半徑為8，∠A=30°，求線段BE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.

【解析】

（1）如圖1，連結OC，根據直角三角形斜邊中點的性質得出OC=OA=OB，進一步得出點C在⊙O上，由等邊對等角得出∠A=∠D，然后通過證得△ACB≌△DCO，得出∠DCO=∠ACB=90°，即可證得CD是⊙O的切線；
（2）解直角三角函數即可求得．

（1）證明：如圖1，連結OC，

∵點O為直角三角形斜邊AB的中點，

∴OC=OA=OB．

∴點C在⊙O上，

∵BD=OB，

∴AB=DO，

∵CD=CA，

∴∠A=∠D，

∴△ACB≌△DCO，

∴∠DCO=∠ACB=90°，

∴CD是⊙O的切線；

（2）如圖2，

在Rt△ABC中，BC=ABsin∠A=2×8×sin30°=8，

∵∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°，

∴BE=BCcos60°=8×=4．