Question

【題目】如圖1，點E在矩形ABCD的邊AD上，AD＝6，tan∠ACD＝，連接CE，線段CE繞點C旋轉90°，得到線段CF，以線段EF為直徑做⊙O．

（1）請說明點C一定在⊙O上的理由；

（2）點M在⊙O上，如圖2，MC為⊙O的直徑，求證：點M到AD的距離等于線段DE的長；

（3）當△AEM面積取得最大值時，求⊙O半徑的長；

（4）當⊙O與矩形ABCD的邊相切時，計算扇形OCF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析；（3）；（4）4π．

【解析】

（1）連接OC，由旋轉的性質得出∠ECF＝90°，由直角三角形斜邊的中線的性質得出OC＝OE＝OF，即可得出點C一定在⊙O上；

（2）易證EM＝CE，過點M作MN⊥AD于N，由AAS證得△MEN≌△CED，得出MN＝DE，即可得出結論；

（3）設AE＝x，則DE＝6﹣x，由（2）得點M到AD的距離等于線段DE的長，則S△AEM＝×x×（6﹣x）＝﹣（x﹣3）2+，當x＝3時，△AEM面積取得最大值，此時，DE＝3，由tan∠ACD＝＝，得出CD＝4，由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，求出CE＝5，易證∠CEF＝45°，在Rt△CEF中，由EF＝，即可得出結果；

（4）當⊙O與矩形ABCD的邊相切時，只有點O與點D重合時存在，此時⊙O半徑r＝CD＝4，∠COF＝90°，由扇形面積公式即可得出結果

（1）解：點C一定在⊙O上的理由如下：

連接OC，如圖所示：

由旋轉的性質得：∠ECF＝90°，

∵EF是⊙O的直徑，O為圓心，

∴OE＝OF，

∴OC＝OE＝OF，

∴點C一定在⊙O上；

（2）證明：由旋轉的性質得：∠ECF＝90°，CE＝CF，

∵OE＝OF，

∴CO⊥EF，

∵MC為⊙O的直徑，

∴CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，

∴EM＝CE，

過點M作MN⊥AD于N，如圖所示：

∵∠DEC+∠DCE＝90°，∠DEC+∠DEM＝90°，

∴∠DEM＝∠DCE，

在△MEN和△CED中，，

∴△MEN≌△CED（AAS），

∴MN＝DE，即點M到AD的距離等于線段DE的長；

（3）解：∵點E在矩形ABCD的邊AD上，AD＝6，

∴∠D＝90°，設AE＝x，則DE＝6﹣x，

由（2）得：點M到AD的距離等于線段DE的長，

∴S△AEM＝×x×（6﹣x）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，

∴當x＝3時，△AEM面積取得最大值，

此時，DE＝6﹣3＝3，

∵tan∠ACD＝＝，

∴CD＝＝4，

由勾股定理得：CE2＝DE2+CD2，即CE2＝32+42，

∴CE＝5，

由（2）得：CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，

∴∠CEF＝45°，

在Rt△CEF中，EF＝＝＝5，

∴⊙O半徑的長為；

（4）當⊙O與矩形ABCD的邊相切時，只有點O與點D重合時存在，此時⊙O半徑r＝CD＝4，∠COF＝90°，S扇OCF=＝4π．