Question

10．如圖，拋物線y₁=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c經過點A（4，0）和B（1，0），與y軸交于點C．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）求點C的坐標及拋物線的頂點坐標；
（3）設直線AC的解析式為y₂=mx+n，請直接寫出當y₁＜y₂時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把A和B的坐標代入函數解析式求得b和c的值，即可求得函數解析式；
（2）在函數解析式中令x=0即可求得C的坐標，然后利用配方法即可確定頂點坐標；
（3）當y₁＜y₂時x的范圍就是當二次函數的圖象在一次函數的圖象的下邊時對應的x的范圍，依據圖象即可確定．

解答 解：（1）根據題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×16+4b+c=0}\\{-\frac{1}{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
則拋物線的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）在y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2中令x=0，則y=-2，
則C的坐標是（0，-2）．
y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）2+$\frac{9}{8}$，
則拋物線的頂點坐標是（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{8}$）；
（3）當y₁＜y₂時，x的取值范圍是x＜0或x＞4．

點評 本題考查了待定系數法求函數的解析式，以及通過圖象確定自變量的范圍，考查了數形結合的思想．