Question

8．如圖．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=$\frac{5}{18}$x²+bx+c與x軸的交點分別為點A、B，與y軸的交點為點C，直線BC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-3．
（1）求拋物線的解析式：
（2）點P為直線BC下方拋物線上一點．連接PB、PC，當PB=PC時．求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，過點P作PN⊥BC于點H，點Q為線段CP上一點，連接BQ、HQ，當∠CQH=∠PQB時．求tan∠CBQ的值．

Answer 1

分析 （1）根據坐標軸上，點的特點，確定出點B，C坐標，用待定系數法求出拋物線解析式；
（2）根據題意，判斷出點P既在拋物線上，又在線段BC的垂直平分線上，先求出直線PH的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出點P的坐標；
（3）先判斷出△BPC是等腰直角三角形，再判斷出△CQG≌△CQH，進而得出CG=CH=$\frac{1}{2}$BC即可得出結論．

解答 解：（1）∵直線BC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-3．
∴B（9，0），C（0，-3），
∵拋物線y=$\frac{5}{18}$x²+bx+c過點C，∴c=-3，
∵拋物線y=$\frac{5}{18}$x²+bx+c過點B，
∴$\frac{5}{18}$×81+9b-3=0，
∴b=-$\frac{13}{6}$，拋物線的解析式為y=y=$\frac{5}{18}$x²-$\frac{13}{6}$x-3；
（2）如圖1，∵PB=PC，
∴PH是線段BC的垂直平分線，
∵B（9，0），C（0，-3），
∴H（$\frac{9}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∵直線BC的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-3，
∴直線PH的解析式為y=-3x+12，
∵點P為直線BC下方拋物線上一點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+12}\\{y=\frac{5}{18}{x}^{2}-\frac{13}{6}x-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-9}\\{y=39}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴P（6，-6）；
（3）如圖2，由（2）知，B（9，0），C（-3，0），P（-6，6），
∴PC²=BP²=9+36=45，BC²=81+9=90，
∴PC²+BP²=BC²，
∴△BPC是等腰直角三角形，
∴∠BCP=45°，
∵PH⊥BC，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC
過點C作CG⊥BC交BQ的延長線于G，
∴∠BCG=90°，
∴∠GCQ=45°=∠BCP，
∵∠CQH=∠PQB，∠BQP=∠CQG，
∴∠CQG=∠CQH，
在△CQG和△CQH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCQ=∠HCQ}\\{CQ=CQ}\\{∠CQG=∠CQH}\end{array}\right.$，
∴△CQG≌△CQH，
∴CG=CH=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△CBG中，tan∠CBQ=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{1}{2}$．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法確定函數解析式，聯立方程組求出函數圖象的交點坐標，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理，確定出點P的坐標是解本題的關鍵，構造全等三角形是解本題的難點，容易忽略的是判斷△BPC是等腰直角三角形，是一道中等難度，比較典型的中考常考題．