Question

6．如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC．過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC，DF，CF．
（1）判斷△CDF的形狀并證明．
（2）若BC=6，AF=2，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）理由“ASA”證明△ADF≌△BCD得到DF=CD，∠ADF=∠BCD，再利用∠BCD+∠CDB=90°得到∠CDF=90°，則可判斷△CDF為等腰直角三角形；
（2）由△ADF≌△BCD得到AD=BC=6，AF=BD=2，然后計算AD-BD即可．

解答 解：（1）△CDF為等腰直角三角形．理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠DAF=90°，
在△ADF和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DB}\\{∠DAF=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCD，
∴DF=CD，∠ADF=∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB=90°，
∴∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°，
∴△CDF為等腰直角三角形；
（2）∵△ADF≌△BCD，
∴AD=BC=6，AF=BD=2，
∴AB=AD-BD=6-2=4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．