Question

【題目】已知拋物線y＝x2+bx﹣3（b是常數）經過點A（﹣1，0），（1）求拋物線的解析式_____．（2）P（m，t）為拋物線上的一個動點，P關于原點的對稱點為P′，當點P′落在第二象限內，P′A2取得最小值時，求m的值_____．

Answer 1

【答案】y＝x2﹣2x﹣3

【解析】

（1）首先把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3，得出b＝﹣2，即拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由題意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，即可判定﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，因為拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），可得出﹣4≤t＜0，又根據P在拋物線上，可得出t＝m2﹣2m﹣3，進而得出m2﹣2m＝t+3，根據兩點坐標A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），即可求出P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t+）2+；可判定當t＝﹣時，P′A2有最小值，即可求出m的值為.

解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣3得：0＝1﹣b﹣3，

解得：b＝﹣2，

即拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

故答案為：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）由題意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，

∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，

∵拋物線的頂點坐標為（1，﹣4），

∴﹣4≤t＜0，

∵P在拋物線上，

∴t＝m2﹣2m﹣3，

∴m2﹣2m＝t+3，

∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），

∴P′A2＝（﹣m+1）2+（﹣t）2＝m2﹣2m+1+t2＝t2+t+4＝（t+）2+；

∴當t＝﹣時，P′A2有最小值，

∴﹣＝m2﹣2m﹣3，解得m＝或m＝，

∵m＞0，

∴m＝不合題意，舍去，

∴m的值為，

故答案為：