Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，連接CE和AF.

（1）求證：四邊形AECF為菱形；

（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20

【解析】

（1）根據(jù)ASA推出：△AEO≌△CFO；根據(jù)全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；

（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AF=CF，設(shè)AF=x，推出AF=CF=x，BF=8－x．在Rt△ABF中，由勾股定理求出x的值，即可得到結(jié)論．

（1）∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO．

在△AEO和△CFO中，∵，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE=OF．

又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形．

又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；

（2）設(shè)AF=x．

∵EF是AC的垂直平分線，∴AF=CF=x，BF=8﹣x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周長為20．