Question

【題目】如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，連接DP并延長DP交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F，交CD的延長線于點G．
（1）求證：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，設線段DP的長為x，線段PF的長為y． ①求y與x的函數關系式；
②當x=6時，求線段FG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，

∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中

，

∴△APB≌△APD（SAS）

（2）解：①∵△APB≌△APD，

∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，

∵在△DFP和△BEP中，

，

∴△DFP≌△BEP（ASA），

∴PF=PE，DF=BE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴GD∥AB，

∴ = ，

∵DF：FA=1：2，

∴ = ， = ，

∴ = ，

∵ = ，即 = ，

∴y= x；

②當x=6時，y= ×6=4，

∴PF=PE=4，DP=PB=6，

∵ = = ，

∴ = ，

解得：FG=5，

故線段FG的長為5

【解析】（1）根據菱形的性質得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先證明△DFP≌△BEP，進而得出 = ， = ，進而得出 = ，即 = ，即可得出答案； ②根據①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，進而得出 = = ，求出即可．
【考點精析】關于本題考查的菱形的性質和相似三角形的判定與性質，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．