Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB=4，AD=5，tanA=，點P從點A出發，沿折線AB﹣BC以每秒1個單位長度的速度向中點C運動，過點P作PQ⊥AB，交折線AD﹣DC于點Q，將線段PQ繞點P順時針旋轉90°，得到線段PR，連接QR．設△PQR與ABCD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）．

（1）當點R與點B重合時，求t的值；

（2）當點P在BC邊上運動時，求線段PQ的長（用含有t的代數式表示）；

（3）當點R落在ABCD的外部時，求S與t的函數關系式；

（4）直接寫出點P運動過程中，△PCD是等腰三角形時所有的t值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（9﹣t）；（3）①S =﹣t2+t﹣；②S=﹣t2+8．③S=（9﹣t）2;（4）4或或5或．

【解析】

（1）根據題意點R與點B重合時t+t=4，即可求出t的值；

（2）根據題意運用t表示出PQ即可；

（3）當點R落在□ABCD的外部時可得出t的取值范圍，再根據等量關系列出函數關系式；

（4）根據等腰三角形的性質即可得出結論.

解：（1）∵將線段PQ繞點P順時針旋轉90°，得到線段PR，

∴PQ=PR，∠QPR=90°，

∴△QPR為等腰直角三角形．

當運動時間為t秒時，AP=t，PQ=PQ=APtanA=t．

∵點R與點B重合，

∴AP+PR=t+t=AB=4，

解得：t=．

（2）當點P在BC邊上時，4≤t≤9，CP=9﹣t，

∵tanA=，

∴tanC=，sinC=，

∴PQ=CPsinC=（9﹣t）．

（3）①如圖1中，當＜t≤3時，重疊部分是四邊形PQKB．作KM⊥AR于M．

∵△KBR∽△QAR，

∴=，

∴=，

∴KM=（t﹣4）=t﹣，

∴S=S△PQR﹣S△KBR=×（t）2﹣×（t﹣4）（t﹣）=﹣t2+t﹣．

②如圖2中，當3＜t≤4時，重疊部分是四邊形PQKB．

S=S△PQR﹣S△KBR=×4×4﹣×t×t=﹣t2+8．

③如圖3中，當4＜t＜9時，重疊部分是△PQK．

S=S△PQC=××（9﹣t）（9﹣t）=（9﹣t）2．

（4）如圖4中，

①當DC=DP1=4時，易知AP1=4，t=4．

②當DC=DP2時，CP2=2CD=，

∴BP2=，

∴t=4+=．

③當CD=CP3時，t=5．

④當CP4=DP4時，CP4=2÷=，

∴t=9﹣=．

綜上所述，滿足條件的t的值為4或或5或．