Question

【題目】如圖，在四邊形中，，點是邊上一點，，，垂足為點，交于點，連接．

（1）四邊形是平行四邊形嗎？說明理由；

（2）求證:；

（3）若點是邊的中點，求證:．

Answer 1

【答案】（1）四邊形是平行四邊形，理由見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）由可得AB∥DC，再由AB=DC即可判定四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）由AB∥DC可得∠AED=∠CDE，然后根據CE=AB=DC可得∠CDE=∠CED，再利用三角形內角和定理即可推出∠AED與∠DCE的關系；

（3）延長DA，FE交于點M，由“AAS”可證△AEM≌△BEF，可得ME=EF，由直角三角形的性質可得DE=EF=ME，由等腰三角形的性質和外角性質可得結論．

（1）四邊形是平行四邊形，理由如下：

∵

∴AB∥DC

又∵AB=DC

∴四邊形是平行四邊形．

（2）∵AB∥DC

∴∠AED=∠CDE

又∵AB=DC，CE=AB

∴DC=CE

∴∠CDE=∠CED

∴在△CDE中，2∠CDE+∠DCE=180°

∴∠CDE=90°-∠DCE

∴

（3）如圖，延長DA，FE交于點M，

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴DM∥BC，DF⊥BC

∴∠M=∠EFB，DF⊥DM

∵E為AB的中點

∴AE=BE

在△AEM和△BEF中，

∵∠M=∠EFB，∠AEM=∠BEF，AE=BE

∴△AEM≌△BEF（AAS）

∴ME=EF

∴在Rt△DMF中，DE為斜邊MF上的中線

∴DE=ME=EF

∴∠M=∠MDE，

∴∠DEF=∠M+∠MDE=2∠M=2∠EFB．