Question

20．如圖，二次函數y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，OB=1，OC=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點P為拋物線上的一點，且在直線AC上方，當△ACP的面積是$\frac{27}{8}$時，求點的坐標；
（3）是否存在拋物線上的點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點B、C的坐標分別代入函數解析式，列出關于系數b、c的方程組，通過解方程組求得它們的值；
（2）過點P作直線l，l∥y軸，交直線AC于點D，由點A、C的坐標得到直線AC的方程，由三角形的面積公式和函數圖象上點的坐標特征來求點P的坐標；
（3）由（1）中所求解析式可設點P的坐標為（m，-m²-2m+3）．當△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況進行討論：①以點A為直角頂點；②以點C為直角頂點；利用勾股定理分別列出關于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）如圖1，∵OB=1，OC=3，
∴B（1，0），C（0，3），
將其代入y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故該拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）如圖1，過點P作直線l，l∥y軸，交直線AC于點D，
由（1）知，拋物線解析式為y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1），則A（3，0）．
由A（3，0），C（0，3）易得直線AC的解析式為：y=x+3．
設P（x，-x²-2x+3）．
則D（x，x+3）．
∴PD=-x²-3x．
∵△ACP的面積是$\frac{27}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$PD•OA=$\frac{27}{8}$，即$\frac{1}{2}$（-x²-3x）×3=$\frac{27}{8}$，
解得x=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）存在．
設點P的坐標為（m，-m²-2m+3）．
∵A（-3，0），C（0，3），
∴AC²=3²+3²=18，AP²=（m+3）²+（-m²-2m+3）²，CP²=m²+（-m²-2m）²．
當△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時，可分兩種情況：
①如圖1，如果點C為直角頂點，那么AC²+CP²=AP²，
即18+m²+（-m²-2m）²=（m+3）²+（-m²-2m+3）²，
整理得m²+m=0，
解得m₁=-1，m₂=0（不合題意舍去），
則點P的坐標為（-1，4）；

②如圖2，如果點A為直角頂點，那么AC²+AP²=CP²，
即18+（m+3）²+（-m²-2m+3）²=m²+（-m²-2m）²，
整理得m²+m-6=0，
解得m₁=2，m₂=-2（不合題意舍去），
則點P的坐標為（2，-5）；
綜上所述，所有符合條件的點P的坐標為（-1，4）或（2，-5）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法求拋物線的解析式，直角三角形的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理的應用，一元二次方程的解法等知識，難度適中．利用分類討論與方程思想是解題的關鍵．