Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D．
（1）求證：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．

∴∠D=∠AEC．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，

且BC=CA，

在△DBC和△ECA中，

∵

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE=CD

（2）解：由（1）得AE=CD，AC=BC，

在Rt△CDB和Rt△AEC中

，

∴Rt△CDB≌Rt△AEC（HL），

∴BD=CE，

∵AE是BC邊上的中線，

∴BD=EC= BC= AC，且AC=12cm．

∴BD=6cm．

【解析】（1）證兩條線段相等，通常用全等，本題中的AE和CD分別在三角形AEC和三角形CDB中，在這兩個三角形中，已經有一組邊相等，一組角相等了，因此只需再找一組角即可利用角角邊進行解答．（2）由（1）得BD=EC= BC= AC，且AC=12，即可求出BD的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用全等三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．