Question

【題目】（類比概念）三角形的內切圓是以三個內角的平分線的交點為圓心，以這點到三邊的距離為半徑的圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形，可以得出三角形的三邊與該圓相切．以此類推，如圖1，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形

（性質探究）如圖1，試探究圓外切四邊形的ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數量關系

猜想結論：　 　（要求用文字語言敘述）

寫出證明過程（利用圖1，寫出已知、求證、證明）

（性質應用）

①初中學過的下列四邊形中哪些是圓外切四邊形　 　（填序號）

A：平行四邊形：B：菱形：C：矩形；D：正方形

②如圖2，圓外切四邊形ABCD，且AB=12，CD=8，則四邊形的周長是　 　．

③圓外切四邊形的周長為48cm，相鄰的三條邊的比為5：4：7，求四邊形各邊的長．

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

（1）根據切線長定理即可得出結論；

（2）①圓外切四邊形是內心到四邊的距離相等，即可得出結論；

②根據圓外切四邊形的對邊和相等，即可求出結論；

③根據圓外切四邊形的性質求出第四邊，利用周長建立方程求解即可得出結論．

性質探討：圓外切四邊形的對邊和相等，理由：

如圖1，已知：四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．

求證：AD+BC=AB+CD．

證明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圓外切四邊形的對邊和相等．

故答案為：圓外切四邊形的對邊和相等；

性質應用：①∵根據圓外切四邊形的定義得：圓心到四邊的距離相等．

∵平行四邊形和矩形不存在一點到四邊的距離相等，而菱形和正方形對角線的交點到四邊的距離相等．

故答案為：B，D；

②∵圓外切四邊形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．

∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四邊形的周長是AB+CD+AD+BC=20+20=40．

故答案為：40；

③∵相鄰的三條邊的比為5：4：7，∴設此三邊為5x，4x，7x，根據圓外切四邊形的性質得：第四邊為5x+7x﹣4x=8x．

∵圓外切四邊形的周長為48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四邊形的四邊為4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．