Question

【題目】如圖，點C為線段AE上一動點（不與點A，點E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，以下四個結論，①AD＝BE；②CP＝CQ；③OB＝DE；④PQ∥AE，一定成立的結論有_____（請把正確結論的序號填在橫線上）．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

根據等邊三角形的三邊都相等，三個角都是60°，可以證明△ACD與△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD＝BE，所以①正確，對應角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后證明△ACP與△BCQ全等，根據全等三角形對應角相等可得PC＝PQ，所以②正確；從而得到△CPQ是等邊三角形，再根據等腰三角形的性質可以找出相等的角，從而證明PQ∥AE，所以④正確

解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD與△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，故①正確；

∵△ACD≌△BCE（已證），

∴∠CAD＝∠CBE，

∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已證），

∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，

∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，

在△ACP與△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AP＝BQ，PC＝QC，故②正確；

∴△PCQ是等邊三角形，

∴∠CPQ＝60°，

∴∠ACB＝∠CPQ，

∴PQ∥AE，故④正確；

故答案為①②④．