Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC．

(1)求∠PAQ的度數．

(2)若△APQ周長為12，BC長為8，求PQ的長．

Answer 1

【答案】(1)∠PAQ＝20°；(2)PQ＝2．

【解析】

（1）設∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根據線段垂直平分線的性質得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性質得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形內角和定理相加可得結論；

（2）根據△APQ周長為12，列等式為AQ+PQ+AP＝12，由等量代換得BC+2PQ＝12，可得PQ的長．

(1)設∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，

∵MP和NQ分別垂直平分AB和AC，

∴AP＝PB，AQ＝CQ，

∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，

∵∠BAC＝80°，

∴∠B+∠C＝100°，

即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，

∴x＝20°，

∴∠PAQ＝20°；

(2)∵△APQ周長為12，

∴AQ+PQ+AP＝12，

∵AQ＝CQ，AP＝PB，

∴CQ+PQ+PB＝12，

即CQ+BQ+2PQ＝12，

BC+2PQ＝12，

∵BC＝8，

∴PQ＝2．