Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B＝135°，端點為A的射線l∥CB，點A繞射線l上的某點D旋轉一周所形成的圖形為F，點B在圖形F上．

（1）利用尺規作圖確定點D的位置；

（2）判斷直線BC與圖形F的公共點個數，并說明理由；

（3）若AD＝2，∠C＝15°，求直線AC被圖形F所截得的線段的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）直線BC與圖形F的公共點個數為1個，理由詳見解析；（3）．

【解析】

（1）作線段AB的垂直平分線交直線l于點D，點D即為所求．

（2）直線BC與圖形F的公共點個數為1個．證明DB⊥BC即可解決問題．

（3）設直線AC交⊙D于E，連接BE，作BH⊥AE于H．解直角三角形求出AH，HE即可解決問題．

解：（1）如圖，點D即為所求．

（2）直線BC與圖形F的公共點個數為1個．

理由：∵直線l∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵∠ABC＝135°，

∴∠DAB＝45°，

∵DA＝DB，

∴∠DAB＝∠DBA＝45°，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DBC＝∠ADB，

∴∠DBC＝90°，

∴DB⊥BC，

∴直線BC是⊙D的切線，

∴直線BC與圖形F的公共點個數為1個．

（3）設直線AC交⊙D于E，連接BE，作BH⊥AE于H．

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠C＝15°，

∵∠DAB＝45°，

∴∠BAC＝45°﹣15°＝30°，

∵AD＝DB＝2，

∴AB＝AD＝2，

∴BH＝AB＝，AH＝BH＝，

∵∠AEB＝∠ADB＝45°，∠BHE＝90°，

∴EH＝BH＝，

∴AE＝AH+BH＝．