Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，點C是⊙O上異于點A的一點，且PC＝PA．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若∠BAC＝30°，AB＝6，求∠P的度數及PA的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠P＝60°， PA＝3．

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質得到∠PAB＝90°，根據等腰三角形的性質得到∠OAC＝∠OCA，再結合已知條件求得∠PCO＝∠PAB＝90°，從而得出PC⊥OC，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）連接BC，推出△PAC是等邊三角形，得到∠P＝60°，根據直角三角形的性質即可得到結論．

（1）連接OC，∵PA是⊙O的切線，

∴∠PAB＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵PC＝PA，

∴∠PAC＝∠PCA，

∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝∠PAC+∠OAC＝∠PAB＝90°，

∴PC⊥OC，，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：連接BC，

∵∠BAC＝30°，

∴∠PAC＝60°，

∵PC＝PA，

∴△PAC是等邊三角形，

∴∠P＝60°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝30°，AB＝6，

∴AC＝ABcos30°=＝

∴PA＝AC＝AB＝．