Question

【題目】平面直角坐標系中，四邊形OABC是正方形，點A，C 在坐標軸上，點B（，），P是射線OB上一點，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得，Q是點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點.

（1）如圖（1）當(dāng)OP = 時，求點Q的坐標；

（2）如圖（2），設(shè)點P（，）（），的面積為S. 求S與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出當(dāng)S取最小值時，點P的坐標；

（3）當(dāng)BP+BQ = 時，求點Q的坐標（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)、解直角三角形可得，，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得出答案；

（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理可得，，然后根據(jù)直角三角形的面積公式可得S與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的解析式即可得點P的坐標；

（3）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)得出，，從而得出點P在OB的延長線上，再根據(jù)線段的和差可得，然后同（1）的方法可得，，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)、線段的和差可得，由此即可得出答案．

（1）如圖1，過P點作軸于點G，過Q點作軸于點H

∵四邊形OABC是正方形

∴

∵

∴

在中，，

∴

∵繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到

∴，

在和中，

∴

∴

∴

則點Q的坐標為；

（2）如圖2，過P點作軸于點G

∵繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到

∴

∵

∴，

∴

在中，由勾股定理得：

整理得：

∴

整理得：

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，S隨x的增大而減小；當(dāng)時，S隨x的增大而增大

則當(dāng)時，S取得最小值，最小值為9

此時

故點P的坐標為；

（3）∵繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到

∴

∵

∴

∵四邊形OABC是正方形，且邊長

對角線

∴點P在OB的延長線上

∴

解得

如圖3，過P點作軸于點G，過Q點作軸于點H

同（1）可得：，

，

則點Q的坐標為．