Question

3．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E為CD的中點，延長OE至點F，使OE=EF．
（1）求證：四邊形OBCF為平行四邊形；
（2）求證：△CEF∽△ABC．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質可得O為BD中點，再由E為CD中點可得EO為中位線，根據中位線定理可得EO∥BC，BC=2EO，然后再證明OF=BC，進而可得四邊形OBCF為平行四邊形；
（2）首先證明∠CEF=∠DCB=90°，再證明∠F=∠OCB，進而可判定△CEF∽△ABC．

解答 證明：（1）∵矩形ABCD的對角線交于點O，
∴O為BD中點，
∵E為CD中點，
∴△DBC中，EO為中位線，
∴EO∥BC，BC=2EO，
∴EO=EF，
∴FO=EO+EF=2EO，
∴OF=BC，
又OF∥BC，
∴四邊形OBCF為平行四邊形；

（2）矩形ABCD中，∠DCB=90°．
∵EO∥BC，
∴∠CEF=∠DCB=90°，
在?OBCF中，∠F=∠OBC，
矩形ABCD中，AC=BD，
∴$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，即CO=BO，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠F=∠OCB，
∴△CEF∽△ABC．

點評 此題主要考查了平行四邊形的判定和性質，以及相似三角形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．