Question

【題目】已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．
（1）如圖①，當直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；
（2）如圖②，當直線l與⊙O相交于點E，F時，求證：∠DAE=∠BAF．

Answer 1

【答案】
（1）連接OC，

∵直線l與⊙O相切于點C，

∴OC⊥CD；

又∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO；

又∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）如圖②，連接BF，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴∠BAF=90°﹣∠B，

∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，

在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內接四邊形，

∴∠AEF+∠B=180°，

∴∠BAF=∠DAE．

【解析】（1）連接OC，易得OC∥AD，根據平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以證出結論；（2）如圖②，連接BF，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性質，可求得∠AEF的度數，又由圓的內接四邊形的性質，繼而證得結論．