Question

【題目】在Rt△OAB中，∠AOB=90°，已知AB= ，AO：BO=1：3，將△OAB繞點O按順時針方向旋轉90°得到△ODC，如圖1建立平面直角坐標系．

（1）求A，B，C三點坐標；
（2）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A，B，C三點（如圖2），點P是拋物線的頂點，試判定△PCD的形狀，并說明理由：

（3）在（2）的拋物線上，且在第一象限中，是否存在點Q，使S△QCD=S△OCD？若存在，請求點Q的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△OAB中，AB= ，AO：BO=1：3，

∴OA=1，OB=3，

∴A（﹣1，0），B（0，3），

∵△OCD是由△OAB繞點O按順時針方向旋轉90°所得，

∴OC=OB=3，

∴C（3，0），

綜上可知A、B、C三點的坐標分別為（﹣1，0）、（0，3）、（3，0）；

（2）

解：∵拋物線經過A、C兩點，

∴可設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

∵拋物線經過點B（0，3），

∴a（0+1）（0﹣3）=3，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）2+4，

∴P點坐標為（1，4），

∵OD=OA=1，

∴D（0，1），

∴PD= = ，CD= = ，PC= = =2 ，

∴PD2+CD2=PC2，且PD=CD，

∴△PCD是等腰直角三角形；

（3）

解：存在．

設直線CD解析式為y=kx+b，

∵直線經過點C（3，0），D（0，1），

∴ ，解得 ，

∴直線CD解析式為y=﹣ x+1，

過點Q作QH∥y軸，交CD于點H，

∵點Q是拋物線上第一象限內的點，

∴可設Q（m，﹣m2+2m+3）（m＞0），則點H為（m，﹣ m+1），

∴QM=﹣m2+2m+3﹣（﹣ m+1）=﹣m2+ m+2，

∴S△QCD= QMOC= （﹣m2+ m+2）×3=﹣ m2+ m+3，

∵S△QCD=S△OCD= ，

∴﹣ m2+ m+3= ，解得m= 或m= （舍去），

∴存在滿足條件的點Q，其橫坐標為 ．

【解析】（1）在Rt△AOB中，根據條件可求得OA、OB的長，再由旋轉的性質可求得OC的長，則可求得A、B、C的坐標；（2）由待定系數法可求得拋物線解析式，可求得P點坐標，結合D、C的坐標，可分別求得PD、PC、CD的長，則可判斷出△PCD的形狀；（3）可先求得直線CD解析式，過Q作QH∥y軸，交CD于點H，可設出Q點的坐標，從而可表示出QH，則可表示出△QCD的面積，由條件可得到方程，可求得Q點坐標．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．