Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D是BC邊上一點，且BD＝CD，G是BC邊上的一動點，GE∥AD分別交直線AC，AB于F，E兩點．

（1）AD＝　 　；

（2）如圖1，當GF＝1時，求的值；

（3）如圖2，隨點G位置的改變，FG+EG是否為一個定值？如果是，求出這個定值，如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD＝；（2）；（3）FG+EG是一個定值，為 ．

【解析】

（1）先由勾股定理求出BC的長，再由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可求出AD的長；

（2）先證FG=CG=1，通過BD=CDBC=AD，求出BG的長，再證△BGE∽△BDA，利用相似三角形的性質(zhì)可求出的值；

（3）由（2）知FG=CG，再證EG=BG，即可證FG+EG=BC=2．

（1）∵∠BAC=90°，且BD=CD，

∴ADBC．

∵BC2，

∴AD2．

故答案為：；

（2）如圖1．

∵GF∥AD，

∴∠CFG=∠CAD．

∵BD=CDBC=AD，

∴∠CAD=∠C，

∴∠CFG=∠C，

∴CG=FG=1，

∴BG=21．

∵AD∥GE，

∴△BGE∽△BDA，

∴；

（3）如圖2，隨點G位置的改變，FG+EG是一個定值．理由如下：

∵ADBC=BD，

∴∠B=∠BAD．

∵AD∥EG，

∴∠BAD=∠E，

∴∠B=∠E，

∴EG=BG，

由（2）知，GF=GC，

∴EG+FG=BG+CG=BC=2，

∴FG+EG是一個定值，為2．