Question

【題目】如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為.過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).連結(jié)，，，.若，.

（1）求的長(zhǎng)。

（2）求證：是的切線.

（3）試判斷四邊形的形狀，并求出四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）BD=2；(2)見解析；（3）四邊形ABCD是菱形，理由見解析. 菱形ABCD得面積為6.

【解析】

（1）根據(jù)題意連結(jié)BD，利用切線定理以及勾股定理進(jìn)行分析求值；

（2）根據(jù)題意連結(jié)OB，利用垂直平分線性質(zhì)以及切線定理進(jìn)行分析求值；

（3）由題意可知四邊形ABCD是菱形，結(jié)合勾股定理利用菱形的判定方法進(jìn)行求證.

解：（1）連結(jié)BD

DE=CE

∴∠DCE=∠EDC

∵⊙O與CD相切于點(diǎn)D，

∴OD⊥DC，∠ODC=90°

∠ODE+∠CDE=90°

∠DOC+∠DCO=90°，∠DCE=∠EDC

∠ODE=∠DOE

DE=OE

∵ 在⊙O中，OE=OD

OE=OD=DE

∠DOE=60°

∵ 在⊙O中，AE⊥DB

BD=2DF

∵在Rt△COE中，∠ODF-90°-∠DOE=90°-60°=30°

∴OD=2OF

∵EF=1 ,設(shè)半徑為R,

OF=OE-FE=R-1

∴R=2(R-1),解得R=2

∴

BD=2DF=2

(2)連結(jié)OB

∵ 在⊙O中，AE⊥DB

BF=DF

AC是DB的垂直平分線

∴OD=0B,CD=CB

∴∠ODB=∠OBD,∠CDB=∠CBD

∴∠ODB+∠CDB=∠OBD+∠CBD

即∠ODC=∠OBC

由（1）得∠ODC=90°

∴∠OBC=90°

即OB⊥BC

又OB是⊙O的半徑

∴CB是⊙O的切線

（3）四邊形ABCD是菱形，理由如下

∵ 由（1）得在⊙O中,∠DOE=60°，∠ODC=90°

∴∠DAO=∠DOE=30°

∵ 由（1）得∠ODC=90°/p>

∴∠OCD=90°-∠DOC=90°-60°=30°

∴∠DAO=∠OCD

∴DA=CD

∵ 由（2）得AD=AB,CD=BC

∴AD=DC=BC=AB

∴四邊形ABCD是菱形

∵在Rt△AFD中，DF=,∠DAC=30°

∴AD=2DF=2

∵四邊形ABCD是菱形

∴AC=2AF=6,BD=2DF=2

∴菱形ABCD得面積為：×AC×DB=×6×2=6.