Question

【題目】如圖，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內切圓，以此類推，依此類推，圖10中有10個直角三角形的內切圓，它們的面積分別記為S1，S2，S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10=（ ）

A. 4π B. 3π C. 2π D. π

Answer 1

【答案】D

【解析】

圖1，作輔助線構建正方形OECF，設圓O的半徑為r，根據切線長定理表示出AD和BD的長，利用AD+BD=5列方程求出半徑r=（a、b是直角邊，c為斜邊），運用圓面積公式=πr2求出面積=π；圖2，先求斜邊上的高CD的長，再由勾股定理求出AD和BD，利用半徑r=（a、b是直角邊，c為斜邊）求兩個圓的半徑，從而求出兩圓的面積和=π；圖3，繼續求高DM和CM、BM，利用半徑r=（a、b是直角邊，c為斜邊）求三個圓的半徑，從而求出三個圓的面積和.

解：（1）圖1，過點O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足為E、F，則∠OEC=∠OFC=90°

∵∠C=90°

∴四邊形OECF為矩形

∵OE=OF

∴矩形OECF為正方形

設圓O的半徑為r，則OE=OF=r，AD=AE=3-r，BD=4-r

∴3-r+4-r=5，r=1

∴S1=π×12=π

（2）圖2，由S△ABC=×3×4=×5×CD

∴CD=

由勾股定理得：AD=，BD=5-=

由（1）得：⊙O的半徑=，⊙E的半徑=

∴S1+S2=π×（）2+π×（）2=π

（3）圖3，由S△CDB=××=×4×MD

∴MD=

由勾股定理得：CM=，MB=4-=

由（1）得：⊙O的半徑，：⊙E的半徑=：⊙F的半徑=

∴S1+S2+S3=π×（）2+π×（）2+π×（）2=π

∴圖4中的S1+S2+S3+S4=π

則S1+S2+S3+…+S10=π

故選：D．