Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以邊AB為直徑作⊙O，交斜邊BC于D，E在弧上，連接AE、ED、DA，連接AE、ED、DA．

（1）求證：∠DAC＝∠AED；

（2）若點E是的中點，AE與BC交于點F，當BD＝5，CD＝4時，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）DF＝2．

【解析】

（1）根據圓周角定理得到AD⊥BC，根據余角的性質和圓周角定理即可得到結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到CA＝CF，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD+∠BAD＝∠BAD+∠B＝90°，

∴∠CAD＝∠B，

∵∠E＝∠ABD，

∴∠DAC＝∠AED；

（2）∵點E是的中點，

∴∠BAE＝∠EAD，

∵∠CFA＝∠ABC+∠BAE，∠CAE＝∠CDA+∠EAD，

∴∠CFA＝∠CAE，

∴CA＝CF，

∵∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCA，

∴△ADC∽△BAC，

∴，

即AC2＝BC×CD＝（5+4）×4＝36，

解得AC＝6，

∴CA＝CF＝6，

∴DF＝CA﹣CD＝2．