Question

如圖5，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點，AE交BF于點H，CG∥AE交BF于點G。下列結論：①tan∠HBE=cot∠HEB  ②    ③BH=FG   ④.其中正確的序號是

A. ①②③    B. ②③④        C. ①③④         D. ①②④                                                   

Answer 1

D

①根據正方形的性質求證△BHE為直角三角形即可得出結論；
②由①求證△CGF∽△BCF．利用其對應邊成比例即可求得結論；
③由①求證△BHE≌△CGF即可得出結論，
④利用相似三角形對應邊成比例即可求得結論．
解答：解：①∵在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD的中點，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴∠BEA=∠CFB，
∵CG∥AE，
∴∠GCB=∠AEB
∴∠CFG=∠GCB，
∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF為直角三角形，
∴CG∥AE交BF于點G，
∴△BHE也為直角三角形，
∴tan∠HBE=cot∠HEB；
∴①正確．
②由①可得△CGF∽△BCF，
∴，
∴CG?BF=BC?CF，
∴②正確；
③由①得△BHE≌△CGF，
∴BH=CG，而不是BH=FG
∴③BH=FG錯誤；
④∵△BCG∽△BFC，
∴，即BC²=BG?BF，
同理CF²=BF?GF，
∴，
∴④正確，綜上所述，正確的有①②④．
故選D．