Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，，，連接AC，點P、E分別在AB、CD上，連接PE，PE與AC交于點F，連接PC，，．

（1）判斷四邊形PBCE的形狀，并說明理由；

（2）求證：；

（3）當P為AB的中點時，四邊形APCE是什么特殊四邊形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形PBCE為平行四邊形，證明過程見解析；（2）見解析；（3）四邊形APCE為矩形，證明過程見解析.

【解析】

（1）證明四邊形ABCD為平行四邊形，從而得BP//CE，根據內錯角相等證明AD//PE,從而可證PE//BC，得四邊形PBCE為平行四邊形；（2）證明△CBP≌△ACE即可證明CP=AE；（3）證明四邊形APCE為平行四邊形，然后根據三線合一證明∠APC=90°，可證四邊形APCE為矩形.

解：（1）四邊形PBCE為平行四邊形.

證明：∵，，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∴PB//EC,

∵,

∴AD//PE,

∴PE//BC,

∴四邊形PBCE為平行四邊形.

（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴∠B=∠D，AB//CD,

∴

又∵，

∴∠B=，

∴BC=AC，

∵四邊形PBCE為平行四邊形，

∴PB=CE，

在△CBP和△ACE中

∴△CBP≌△ACE.

∴.

（3）四邊形APCE為矩形，

證明：∵P為AB的中點

∴BP=AP,

∵四邊形PBCE為平行四邊形，

∴BP=CE,

∴AP=CE,

又∵AB//CD

∴四邊形APCE為平行四邊形，

∵CB=CA，AP=BP，

∴CP⊥AB，

∴∠APC=90°，

∴為矩形.