Question

【題目】如圖，已知△ABC，AC的垂直平分線交AB于點D，交AC于點O，過點C作CE∥AB交直線OD于點E，連接AE、CD.

⑴如圖1，求證：四邊形ADCE是菱形；

⑵如圖2，當∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周長為18時，求AC的長度.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC＝8

【解析】（1）利用直線DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，進而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE是菱形；

（2）利用當∠ACB=90°時，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC的長．

詳（1）證明：∴直線DE是線段AC的垂直平分線，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；

且AD=CD、AO=CO，

又∵CE∥AB，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△COE中

，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴OD=OE，

∵A0=CO，DO=EO，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

又∵AC⊥DE，

∴四邊形ADCE是菱形；

（2）當∠ACB=90°時，OD∥BC，

即有△ADO∽△ABC，

∴，

又∵BC=6，

∴OD=3，

又∵△ADC的周長為18，

∴AD+AO=9，

即AD=9-AO，

∴OD==3，

可得AO=4，

∴AC=8．