Question

【題目】如圖，拋物線（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，過點A的直線y=﹣x+4交拋物線于點C．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在直線AC上有一動點E，當點E在某個位置時，使△BDE的周長最小，求此時E點坐標；

（3）當動點E在直線AC與拋物線圍成的封閉線A→C→B→D→A上運動時，是否存在使△BDE為直角三角形的情況，若存在，請直接寫出符合要求的E點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E（，）；（3）E（3，1）或（，）．

【解析】（1）∵拋物線（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點，∴，∴，∴拋物線解析式為；

（2）如圖1，作點B關于直線AC的對稱點F，連接DF交AC于點E，由（1）得，拋物線解析式為①，∴D（0，﹣4），∵點C是直線y=﹣x+4②與拋物線的交點，∴聯立①②得：，解得，（舍）或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∴直線AC解析式為y=﹣x+4，∵直線BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直線BF解析式為y=x+1，設點F（m，m+1），∴G（，），∵點G在直線AC上，∴，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直線DF解析式為，∵直線AC解析式為y=﹣x+4，∴直線DF和直線AC的交點E（，）；

（3）∵BD=，由（2）有，點B到線段AC的距離為BG=BF=×=＞BD，∴∠BED不可能是直角，∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），∴直線BD解析式為y=﹣4x+4，∵△BDE為直角三角形，∴∠BDE=90°或∠BDE=90°．

①當∠BDE=90°時， BE⊥BD交AC于B，∴直線BE解析式為，∵點E在直線AC：y=﹣x+4的圖象上，∴E（3，1）；

當②∠BDE=90°時，BE⊥BD交AC于D，∴直線BE的解析式為，∵點E在拋物線上，∴直線BE與拋物線的交點為（0，﹣4）和（，），∴E（，），即：滿足條件的點E的坐標為E（3，1）或（，）．